Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel 37034
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel.l = (le‘𝐾)
lhpocnel.o = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel
StepHypRef Expression
1 lhpocnel.o . . 3 = (oc‘𝐾)
2 lhpocnel.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpocnel.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpocat 37033 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ 𝐴)
5 lhpocnel.l . . 3 = (le‘𝐾)
65, 1, 3lhpocnle 37032 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
74, 6jca 512 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  occoc 16561  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  lhpocnel2  37035  trlcl  37180  trlle  37200  cdlemk19w  37988  dia2dimlem8  38087  dicssdvh  38202  dicvaddcl  38206  dicvscacl  38207  dicn0  38208  dih1  38302  dihatlat  38350
  Copyright terms: Public domain W3C validator