Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel2 37035
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 eqid 2818 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 lhpocnel2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpocnel2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 37034 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
6 lhpocnel2.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
76eleq1i 2900 . . 3 (𝑃𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
86breq1i 5064 . . . 4 (𝑃 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
98notbii 321 . . 3 𝑃 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
107, 9anbi12i 626 . 2 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
115, 10sylibr 235 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  occoc 16561  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  37989  diclspsn  38210  cdlemn3  38213  cdlemn4  38214  cdlemn4a  38215  cdlemn6  38218  cdlemn8  38220  cdlemn9  38221  cdlemn11a  38223  dihordlem7b  38231  dihopelvalcpre  38264  dihmeetlem1N  38306  dihglblem5apreN  38307  dihglbcpreN  38316  dihmeetlem4preN  38322  dihmeetlem13N  38335  dih1dimatlem0  38344  dih1dimatlem  38345  dihpN  38352  dihatexv  38354  dihjatcclem3  38436  dihjatcclem4  38437
  Copyright terms: Public domain W3C validator