Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel2 34820
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 lhpocnel2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpocnel2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 34819 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
6 lhpocnel2.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
76eleq1i 2689 . . 3 (𝑃𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
86breq1i 4625 . . . 4 (𝑃 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
98notbii 310 . . 3 𝑃 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
107, 9anbi12i 732 . 2 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
115, 10sylibr 224 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  lecple 15880  occoc 15881  Atomscatm 34065  HLchlt 34152  LHypclh 34785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-lhyp 34789
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  35776  diclspsn  35998  cdlemn3  36001  cdlemn4  36002  cdlemn4a  36003  cdlemn6  36006  cdlemn8  36008  cdlemn9  36009  cdlemn11a  36011  dihordlem7b  36019  dihopelvalcpre  36052  dihmeetlem1N  36094  dihglblem5apreN  36095  dihglbcpreN  36104  dihmeetlem4preN  36110  dihmeetlem13N  36123  dih1dimatlem0  36132  dih1dimatlem  36133  dihpN  36140  dihatexv  36142  dihjatcclem3  36224  dihjatcclem4  36225
  Copyright terms: Public domain W3C validator