Theorem lidl0cl 19979

Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		rlm0 19963	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2844	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
4		rlmlmod 19971	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
6		lidlcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lidlval 19958	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
8	6, 7	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9	5, 8	eleqtrdi 2923	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	lss0cl 19712	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
13	4, 9, 12	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
14	3, 13	eqeltrid 2917	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  0_gc0g 16707  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  ringLModcrglmod 19935  LIdealclidl 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940

This theorem is referenced by:  lidlsubg  19982  lidlnz  19995  ig1peu  24759  ig1pdvds  24764  mxidlnzr  30971  mxidlprm  30972  ssmxidllem  30973  hbtlem2  39717  hbtlem5  39721