MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlnz 19147
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlnz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlnz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
31, 2lidl0cl 19131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
43snssd 4309 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
543adant3 1079 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6 simp3 1061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
76necomd 2845 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8 df-pss 3571 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
95, 7, 8sylanbrc 697 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10 pssnel 4011 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12 velsn 4164 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
1312necon3bbii 2837 . . . . 5 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥0 )
1413anbi2i 729 . . . 4 ((𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥𝐼𝑥0 ))
1514exbii 1771 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
16 df-rex 2913 . . 3 (∃𝑥𝐼 𝑥0 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
1715, 16bitr4i 267 . 2 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
1811, 17sylib 208 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3555  wpss 3556  {csn 4148  cfv 5847  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  LIdealclidl 19089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093
This theorem is referenced by:  drngnidl  19148  zringlpirlem1  19751  lidldomn1  41206
  Copyright terms: Public domain W3C validator