Theorem lidlnz 20003

Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlnz.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnz.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlnz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0cl 19987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
4	3	snssd 4744	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
5	4	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
7	6	necomd 3073	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8		df-pss 3956	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
9	5, 7, 8	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10		pssnel 4422	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12		velsn 4585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
13	12	necon3bbii 3065	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
14	13	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
15	14	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		df-rex 3146	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
17	15, 16	bitr4i 280	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )
18	11, 17	sylib 220	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938   ⊊ wpss 3939  {csn 4569  ‘cfv 6357  0_gc0g 16715  Ringcrg 19299  LIdealclidl 19944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-lidl 19948

This theorem is referenced by:  drngnidl  20004  zringlpirlem1  20633  lidldomn1  44199