MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrsppropd 18997
Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3 (𝜑𝐵𝑊)
lidlpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lidlpropd.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 rlmbas 18962 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
31, 2syl6eq 2659 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4 lidlpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
5 rlmbas 18962 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
64, 5syl6eq 2659 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7 lidlpropd.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 lidlpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 rlmplusg 18963 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
109oveqi 6540 . . . . 5 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11 rlmplusg 18963 . . . . . 6 (+g𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
1211oveqi 6540 . . . . 5 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
138, 10, 123eqtr3g 2666 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14 rlmvsca 18969 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
1514oveqi 6540 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16 lidlpropd.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
1715, 16syl5eqelr 2692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18 lidlpropd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
19 rlmvsca 18969 . . . . . 6 (.r𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
2019oveqi 6540 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
2118, 15, 203eqtr3g 2666 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22 baseid 15693 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
23 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2422, 23strfvi 15687 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25 rlmsca2 18968 . . . . . . 7 ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
2625fveq2i 6091 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
2724, 26eqtri 2631 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
281, 27syl6eq 2659 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
3022, 29strfvi 15687 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31 rlmsca2 18968 . . . . . . 7 ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
3231fveq2i 6091 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
3330, 32eqtri 2631 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
344, 33syl6eq 2659 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 18784 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36 lidlval 18959 . . 3 (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37 lidlval 18959 . . 3 (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
3835, 36, 373eqtr4g 2668 . 2 (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39 fvex 6098 . . . . 5 (ringLMod‘𝐾) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
41 fvex 6098 . . . . 5 (ringLMod‘𝐿) ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
433, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 40, 42lsppropd 18785 . . 3 (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
44 rspval 18960 . . 3 (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
45 rspval 18960 . . 3 (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
4643, 44, 453eqtr4g 2668 . 2 (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
4738, 46jca 552 1 (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539   I cid 4938  cfv 5790  (class class class)co 6527  ndxcnx 15638  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  ringLModcrglmod 18936  LIdealclidl 18937  RSpancrsp 18938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-lidl 18941  df-rsp 18942
This theorem is referenced by:  crngridl  19005
  Copyright terms: Public domain W3C validator