Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlsubg 19209
 Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlsubg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lidlcl.u . . . 4 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
31, 2lidlss 19204 . . 3 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
43adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
62, 5lidl0cl 19206 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑅) ∈ 𝐼)
7 ne0i 3919 . . 3 ((0g𝑅) ∈ 𝐼𝐼 ≠ ∅)
86, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ≠ ∅)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
102, 9lidlacl 19207 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
1110anassrs 680 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
1211ralrimiva 2965 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → ∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
13 eqid 2621 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
142, 13lidlnegcl 19208 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
15143expa 1264 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
1612, 15jca 554 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
1716ralrimiva 2965 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
18 ringgrp 18546 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1918adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
201, 9, 13issubg2 17603 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
224, 8, 17, 21mpbir3and 1244 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∀wral 2911   ⊆ wss 3572  ∅c0 3913  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  0gc0g 16094  Grpcgrp 17416  invgcminusg 17417  SubGrpcsubg 17582  Ringcrg 18541  LIdealclidl 19164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-subrg 18772  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-lidl 19168 This theorem is referenced by:  lidlsubcl  19210  2idlcpbl  19228  qus1  19229  qusrhm  19231  quscrng  19234  zndvds  19892  lidlabl  41695
 Copyright terms: Public domain W3C validator