MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlval 19186
Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
lidlval (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval
StepHypRef Expression
1 df-lidl 19168 . . 3 LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
21fveq1i 6190 . 2 (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3 00lss 18936 . . 3 ∅ = (LSubSp‘∅)
4 rlmfn 19184 . . . 4 ringLMod Fn V
5 fnfun 5986 . . . 4 (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
64, 5ax-mp 5 . . 3 Fun ringLMod
73, 6fvco4i 6274 . 2 ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
82, 7eqtri 2643 1 (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1482  Vcvv 3198  ccom 5116  Fun wfun 5880   Fn wfn 5881  cfv 5886  LSubSpclss 18926  ringLModcrglmod 19163  LIdealclidl 19164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-fv 5894  df-ov 6650  df-slot 15855  df-base 15857  df-lss 18927  df-rgmod 19167  df-lidl 19168
This theorem is referenced by:  lidlss  19204  islidl  19205  lidl0cl  19206  lidlacl  19207  lidlnegcl  19208  lidlmcl  19211  lidl0  19213  lidl1  19214  lidlacs  19215  rspcl  19216  rspssp  19220  mrcrsp  19221  lidlrsppropd  19224  islnr2  37510
  Copyright terms: Public domain W3C validator