Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4b 40813
Description: Lemma 2 for lighneallem4 40814. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4b ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem lighneallem4b
StepHypRef Expression
1 2z 11354 . . 3 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
3 fzfid 12709 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
4 neg1z 11358 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5 elfznn0 12371 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 zexpcl 12812 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
74, 5, 6sylancr 694 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
9 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
125adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1311, 12nn0expcld 12968 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 11424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
158, 14zmulcld 11432 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
163, 15fsumzcl 14394 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
17163adant3 1079 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
18 simp1 1059 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
19 3z 11355 . . . . 5 3 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ∈ ℤ)
21 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
22213ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 eluz2 11637 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24 2re 11035 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
26 zre 11326 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2725, 26leloed 10125 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 ↔ (2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀)))
28 zltp1le 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
291, 28mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
3029biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → (2 + 1) ≤ 𝑀))
31 df-3 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3231breq1i 4625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ≤ 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀)
3330, 32syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
3534com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
36 z2even 15025 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∥ 2
37 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 𝑀 → (2 ∥ 2 ↔ 2 ∥ 𝑀))
3836, 37mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 = 𝑀 → 2 ∥ 𝑀)
3938pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4135, 40jaoi 394 . . . . . . . . . . 11 ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4327, 42sylbid 230 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4443imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
45443adant1 1077 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4623, 45sylbi 207 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4746imp 445 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
48473adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
49 eluz2 11637 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑀))
5020, 22, 48, 49syl3anbrc 1244 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘3))
51 eluzelcn 11643 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
52513ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
53 eluz2nn 11670 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54533ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
55 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
5652, 54, 55oddpwp1fsum 15034 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
5756eqcomd 2632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1))
58 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5958adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6010, 59nn0expcld 12968 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 11298 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
62 peano2cn 10153 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
64633adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6517zcnd 11427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
66 eluz2nn 11670 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766peano2nnd 10982 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
6867nncnd 10981 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
6967nnne0d 11010 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≠ 0)
7068, 69jca 554 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
71703ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
72 divmul 10633 . . . . . 6 ((((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7364, 65, 71, 72syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7457, 73mpbird 247 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7574eqcomd 2632 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
76 lighneallem4a 40812 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7718, 50, 75, 76syl3anc 1323 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
78 eluz2 11637 . 2 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
792, 17, 77, 78syl3anbrc 1244 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  cexp 12797  Σcsu 14345  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-dvds 14903
This theorem is referenced by:  lighneallem4  40814
  Copyright terms: Public domain W3C validator