MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcco 24418
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
limcco.s ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
limcco.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
limcco.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
limcco.1 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
limcco.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcco (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
21expr 457 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐶𝑅𝐵))
32necon1bd 3031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 = 𝐶))
4 limccl 24400 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) ⊆ ℂ
5 limcco.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
64, 5sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 elsn2g 4593 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
103, 9sylibrd 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1110orrd 857 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
12 elun 4122 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1311, 12sylibr 235 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
1413fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝐶}))
15 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
16 limcco.s . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
1715, 16dmmptd 6486 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) = 𝐵)
18 limcco.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
19 limcrcl 24399 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2120simp2d 1135 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ)
2217, 21eqsstrrd 4003 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
236snssd 4734 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℂ)
2422, 23unssd 4159 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝐶}) ⊆ ℂ)
25 eqid 2818 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 eqid 2818 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶}))
2722, 6, 16, 26, 25limcmpt 24408 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
2818, 27mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
2914, 24, 25, 26, 5, 28limccnp 24416 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) ∈ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋))
30 eqid 2818 . . 3 (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))
31 iftrue 4469 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
32 ssun2 4146 . . . 4 {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})
33 snssg 4709 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
345, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
3532, 34mpbiri 259 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
3630, 31, 35, 18fvmptd3 6783 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) = 𝐷)
37 eqidd 2819 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
38 eqidd 2819 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)))
39 eqeq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶))
40 limcco.1 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
4139, 40ifbieq2d 4488 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4213, 37, 38, 41fmptco 6883 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)))
43 ifid 4502 . . . . . 6 if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = 𝑇
44 limcco.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
4544anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑅 = 𝐶) → 𝑇 = 𝐷)
4645ifeq1da 4493 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4743, 46syl5reqr 2868 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇) = 𝑇)
4847mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)) = (𝑥𝐴𝑇))
4942, 48eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
5049oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋) = ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
5129, 36, 503eltr3d 2924 1 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137  dom cdm 5548  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473   CnP ccnp 21761   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  dvcobr  24470  dvcnvlem  24500  lhop2  24539  fourierdlem60  42328  fourierdlem61  42329  fourierdlem62  42330  fourierdlem73  42341  fourierdlem76  42344
  Copyright terms: Public domain W3C validator