Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcdm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdm0 40353
 Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcdm0.f (𝜑𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdm0 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23838 . . . . 5 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
21sseli 3740 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 1rp 12029 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
6 ral0 4220 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1))
87anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 1 → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) ↔ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1)))
98imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 1 → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)))
109ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑤 = 1 → (∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)))
1110rspcev 3449 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
125, 6, 11mp2an 710 . . . . . 6 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
1312rgenw 3062 . . . . 5 𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
15 limcdm0.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:∅⟶ℂ)
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
17 0ss 4115 . . . . . 6 ∅ ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
19 limcdm0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2019adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2116, 18, 20ellimc3 23842 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
224, 14, 21mpbir2and 995 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
233, 22impbida 913 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
2423eqrdv 2758 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  1c1 10129   < clt 10266   − cmin 10458  ℝ+crp 12025  abscabs 14173   limℂ climc 23825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-limc 23829 This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  40651  ioodvbdlimc2  40653
 Copyright terms: Public domain W3C validator