MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcflf 23585
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
Assertion
Ref Expression
limcflf (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3193 . . . . . . . . . . 11 𝑡 ∈ V
21inex1 4769 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐶) ∈ V
32rgenw 2920 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V
4 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))
5 imaeq2 5431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)))
6 inss2 3818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐶) ⊆ 𝐶
7 resima2 5401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶))
95, 8syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
109sseq1d 3617 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑡𝐶) → (((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
114, 10rexrnmpt 6335 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
123, 11mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14 fvex 6168 . . . . . . . . . . 11 ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16 difss 3721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐴
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1917, 18syl5ss 3599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
20 cnex 9977 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
2120ssex 4772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ V)
2322ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24 restval 16027 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2514, 23, 24sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2613, 25syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2726rexeqdv 3138 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2928cnfldtop 22527 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
30 opnneip 20863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
3129, 30mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝑡 = 𝑤)
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
3432, 33ineq12d 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑤 → (𝑡𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3534imaeq2d 5435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3635sseq1d 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3736rspcev 3299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3831, 37sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐾𝐵𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3938anasss 678 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐾 ∧ (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
4039rexlimiva 3023 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
41 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
4228cnfldtopon 22526 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4342toponunii 20661 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = 𝐾
4443neii1 20850 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4529, 41, 44sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4643ntropn 20793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4729, 45, 46sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐾 ∈ Top)
4943lpss 20886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
5029, 18, 49sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
5250, 51sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5352snssd 4316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5453ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
5543neiint 20848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5648, 54, 45, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5741, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
5852ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59 snssg 4303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6157, 60mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
6243ntrss2 20801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
6329, 45, 62sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
64 ssrin 3822 . . . . . . . . . . . . 13 (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶))
65 imass2 5470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
67 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
6866, 67sstrd 3598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
69 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵𝑤𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
7015ineq2i 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
71 ineq1 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7270, 71syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7372imaeq2d 5435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
7473sseq1d 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
7569, 74anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
7675rspcev 3299 . . . . . . . . . . 11 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7747, 61, 68, 76syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7877rexlimdvaa 3027 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
7940, 78impbid2 216 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
8012, 27, 793bitr4rd 301 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8180anassrs 679 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) ∧ 𝑥𝑢) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8281pm5.74da 722 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) → ((𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8382ralbidva 2981 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8483pm5.32da 672 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
85 limcflf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
8685, 18, 52, 28ellimc2 23581 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
8742a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8885, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 23584 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
89 fssres 6037 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
9085, 17, 89sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
91 isflf 21737 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9287, 88, 90, 91syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9384, 86, 923bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶))))
9493eqrdv 2619 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  {csn 4155  cmpt 4683  ran crn 5085  cres 5086  cima 5087  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  fldccnfld 19686  Topctop 20638  TopOnctopon 20655  intcnt 20761  neicnei 20841  limPtclp 20878  Filcfil 21589   fLimf cflf 21679   lim climc 23566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-cnp 20972  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-limc 23570
This theorem is referenced by:  limcmo  23586
  Copyright terms: Public domain W3C validator