Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 39285
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 12209 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 39169 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 9945 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7syl6ss 3599 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2621 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2621 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11 retop 22488 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 10041 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 icossre 12204 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
154, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 3721 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 3772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 22489 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18syl6sseq 3635 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24 mnfxr 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 elioo2 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2825, 26, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2923, 28mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
324ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 elico2 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3532, 33, 34syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3736orcd 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3820ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝐴𝑥)
4039intnanrd 962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
414rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4438rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 elicc4 12190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4740, 46mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4838, 47eldifd 3570 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4948olcd 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5037, 49pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 elun 3736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5352ralrimiva 2961 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54 dfss3 3577 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5756ntrss 20782 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 11910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 39162 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63 iooretop 22492 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65 isopn3i 20809 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6612, 64, 65syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6762, 66eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
6858, 67sseldd 3588 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
694leidd 10546 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
704, 5, 61ltled 10137 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 39168 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7268, 71elind 3781 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73 icossicc 12210 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75 eqid 2621 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7618, 75restntr 20909 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7872, 77eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
809, 79rerest 22530 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8281eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8382fveq2d 6157 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8483fveq1d 6155 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8578, 84eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8671snssd 4314 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87 ssequn2 3769 . . . . . . . 8 ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8886, 87sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8988eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
9089oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
9190fveq2d 6157 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92 uncom 3740 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93 snunioo 12248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9592, 94syl5req 2668 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6159 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2700 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 23573 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  {csn 4153   cuni 4407   class class class wbr 4618  ran crn 5080  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  (,)cioo 12125  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  t crest 16013  TopOpenctopn 16014  topGenctg 16030  fldccnfld 19678  Topctop 20630  intcnt 20744   lim climc 23549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-limc 23553
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  39437  fourierdlem82  39738  fourierdlem93  39749  fourierdlem111  39767
  Copyright terms: Public domain W3C validator