Theorem limciccioolb 41894

Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciccioolb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limciccioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limciccioolb.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 12816	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limciccioolb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limciccioolb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 41772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 10588	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3979	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2821	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2821	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11		retop 23364	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	5	rexrd 10685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		icossre 12811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15	4, 13, 14	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 23365	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 4017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 12762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24		mnfxr 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
26	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		elioo2 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
28	25, 26, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	23, 28	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
30	29	simp3d 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
32	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34		elico2 12794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
35	32, 33, 34	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
36	21, 22, 31, 35	mpbir3and 1338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	36	orcd 869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
38	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)
40	39	intnanrd 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
41	4	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	38	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		elicc4 12797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
47	40, 46	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	38, 47	eldifd 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
49	48	olcd 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	37, 49	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		elun 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53	52	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54		dfss3 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
55	53, 54	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	ntrss 21657	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
58	12, 19, 55, 57	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
59	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
60	4	mnfltd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61		limciccioolb.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	59, 13, 4, 60, 61	eliood 41765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63		iooretop 23368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65		isopn3i 21684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
66	12, 64, 65	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
67	62, 66	eleqtrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
68	58, 67	sseldd 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
69	4	leidd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
70	4, 5, 61	ltled 10782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
71	4, 5, 4, 69, 70	eliccd 41771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	68, 71	elind 4171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73		icossicc 12818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
76	18, 75	restntr 21784	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
77	12, 6, 74, 76	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
78	72, 77	eleqtrrd 2916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
80	9, 79	rerest 23406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
81	6, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
82	81	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
83	82	fveq2d 6669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
84	83	fveq1d 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
85	78, 84	eleqtrd 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
86	71	snssd 4736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87		ssequn2 4159	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
88	86, 87	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
89	88	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
90	89	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
91	90	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92		uncom 4129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93		snunioo 12858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
94	41, 13, 61, 93	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
95	92, 94	syl5req 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
96	91, 95	fveq12d 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
97	85, 96	eleqtrd 2915	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
98	1, 3, 8, 9, 10, 97	limcres 24478	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059  ran crn 5551   ↾ cres 5552  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  [,]cicc 12735   ↾_t crest 16688  TopOpenctopn 16689  topGenctg 16705  ℂ_fldccnfld 20539  Topctop 21495  intcnt 21619   lim_ℂ climc 24454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-cnp 21830  df-xms 22924  df-ms 22925  df-limc 24458

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  42168  fourierdlem82  42466  fourierdlem93  42477  fourierdlem111  42495