Theorem limcmpt2 24481

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
limcmpt2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
limcmpt2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	ssdifssd 4118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
3		limcmpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sseldd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eldifsn 4718	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵))
6		limcmpt2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	5, 6	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
8		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
9		limcmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 24480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
11		undif1 4423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12	3	snssd 4741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
13		ssequn2 4158	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
14	12, 13	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
15	11, 14	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
16	15	mpteq1d 5154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
17	15	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
19	17, 18	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = 𝐽)
20	19	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = (𝐽 CnP 𝐾))
21	20	fveq1d 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
22	16, 21	eleq12d 2907	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
23	10, 22	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ⊆ wss 3935  ifcif 4466  {csn 4566   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534   ↾_t crest 16693  TopOpenctopn 16694  ℂ_fldccnfld 20544   CnP ccnp 21832   lim_ℂ climc 24459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-rest 16695  df-topn 16696  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cnp 21835  df-xms 22929  df-ms 22930  df-limc 24463

This theorem is referenced by:  dvcnp  24515