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Theorem limcperiod 39292
Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
limcperiod.clim (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcperiod (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23562 . . 3 ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 limcperiod.clim . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
31, 2sseldi 3585 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
64, 5fssresd 6033 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ)
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 limcrcl 23561 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
109simp3d 1073 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
116, 7, 10ellimc3 23566 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
122, 11mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
1312simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1413r19.21bi 2927 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝜑)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏𝐵)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵𝑏𝐵)
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
2120eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2221cbvrexv 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2423rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2522, 24syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2625cbvrabv 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2719, 26eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2818, 27syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐵𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3029rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3130elrab 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3228, 31sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3332simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐵 → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36353ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
377sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
4037, 39pncand 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41403adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
4236, 41eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = 𝑧)
43 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧𝐴)
4442, 43eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
45443exp 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4746rexlimdv 3024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴))
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
49 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℂ
5027, 49eqsstri 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
5251sselda 3587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
5338adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
5452, 53npcand 10348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑏𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
5554eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
56 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
5756eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) ↔ 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)))
5857rspcev 3298 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑇) ∈ 𝐴𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5948, 55, 58syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
6016, 17, 59syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
61 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
62 nfrab1 3114 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
6319, 62nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
6463nfcri 2755 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑏𝐵
6561, 64nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵)
66 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
6765, 66nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
68 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
69 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐹
7069, 63nfres 5363 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝐹𝐵)
71 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑏
7270, 71nffv 6160 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝐹𝐵)‘𝑏)
73 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
74 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐶
7572, 73, 74nfov 6636 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
7668, 75nffv 6160 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
77 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
78 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
7976, 77, 78nfbr 4664 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
80 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
8180fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
82173ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏𝐵)
8380, 82eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
84 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
86163ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
87 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐴)
88 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
8988anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑𝑦𝐴) ↔ (𝜑𝑥𝐴)))
90 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
9190fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
92 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
9391, 92eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)))
9489, 93imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))))
95 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
9694, 95chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9786, 87, 96syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9987, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
10097, 99eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
10181, 85, 1003eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
102101oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶) = (((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
103102fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
104 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1051043ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
106105, 87jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴))
107 simp1rl 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
108107neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
109 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
11080, 109sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
111108, 110mtand 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
112111neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐷)
11380oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
1147sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
11586, 87, 114syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11686, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
11786, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
118115, 116, 117pnpcan2d 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥𝐷))
119113, 118eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
120119fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
121 simp1rr 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
122120, 121eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)
123112, 122jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
124 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
125 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷) = (𝑥𝐷))
126125fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐷)) = (abs‘(𝑥𝐷)))
127126breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
128124, 127anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)))
129 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝐴)‘𝑦) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
130129oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶) = (((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
131130fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
132131breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
133128, 132imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
134133rspccva 3297 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
135106, 123, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
136103, 135eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
1371363exp 1261 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
13867, 79, 137rexlimd 3020 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
140139ex 450 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
141140ralrimiva 2961 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
1421413exp 1261 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
143142reximdvai 3010 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
14414, 143mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
145144ralrimiva 2961 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
146 limcperiod.bss . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
1474, 146fssresd 6033 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
14810, 38addcld 10011 . . 3 (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
149147, 51, 148ellimc3 23566 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
1503, 145, 149mpbir2and 956 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3559   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218  +crp 11784  abscabs 13916   lim climc 23549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-limc 23553
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  39704  fourierdlem49  39705  fourierdlem81  39737  fourierdlem89  39745  fourierdlem91  39747  fourierdlem92  39748
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