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Theorem limcrecl 39293
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
limcrecl.4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (𝜑𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 limccl 23562 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
43, 1sseldi 3585 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3570 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
87dstregt0 38988 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
9 cnxmet 22499 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1312ssdifssd 3731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
15 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtop 22510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
18 unicntop 22512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1911, 18syl6sseq 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 (TopOpen‘ℂfld))
20 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120lpdifsn 20870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 (TopOpen‘ℂfld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2217, 19, 21syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2314, 22mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
2423ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 22508 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2726lpbl 22231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29 eldif 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
3029anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31 anass 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3230, 31bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3332rexbii2 3033 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
3428, 33sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36 velsn 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
3736necon3bbii 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧𝐵)
3835, 37sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐵)
39 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4418lpss 20869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4517, 11, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4645, 14sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48 rpxr 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 22116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5453, 47abssubd 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑧)))
55 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5655cnmetdval 22497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5852simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6238, 61jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6362adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6439adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐴)
6664, 65jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑𝑧𝐴))
67 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
69 rpre 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7372recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7473ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
754ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
7776abscld 14117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
79 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝜑
80 nfra1 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))
8179, 80nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
82 rspa 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
8382adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
844adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85 ax-resscn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8786sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
8884, 87abssubd 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
8988adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
9083, 89breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9190ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿))))
9281, 91ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9392adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
94 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑤𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
9594fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑤𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9695breq2d 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9796rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9878, 93, 97sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9998adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
10070, 77, 99ltnsymd 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10166, 67, 68, 100syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10263, 101jcn 38723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103102ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
104103reximdva 3012 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
10534, 104mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106 rexnal 2990 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107105, 106sylib 208 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108107nrexdv 2996 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
109108ex 450 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
110109reximdva 3012 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
1118, 110mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112 rexnal 2990 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113111, 112sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
114113intnand 961 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
11571, 86fssd 6019 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
116115, 11, 46ellimc3 23566 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117116adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
118114, 117mtbird 315 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1192, 118condan 834 1 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153   cuni 4407   class class class wbr 4618  ccom 5083  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  *cxr 10025   < clt 10026  cmin 10218  +crp 11784  abscabs 13916  TopOpenctopn 16014  ∞Metcxmt 19663  ballcbl 19665  fldccnfld 19678  Topctop 20630  limPtclp 20861   lim climc 23549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-limc 23553
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  39439  fourierdlem60  39716  fourierdlem61  39717  fourierdlem74  39730  fourierdlem75  39731  fourierdlem85  39741  fourierdlem88  39744  fourierdlem95  39751  fourierdlem103  39759  fourierdlem104  39760
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