Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcres 23590
 Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c (𝜑𝐶𝐴)
limcres.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
Assertion
Ref Expression
limcres (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 23578 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → ((𝐹𝐶):dom (𝐹𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp3d 1073 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 limccl 23579 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ⊆ ℂ
43sseli 3584 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
52, 4jca 554 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7 limcrcl 23578 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87simp3d 1073 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 limccl 23579 . . . . . 6 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
109sseli 3584 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
118, 10jca 554 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1514cnfldtopon 22526 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918snssd 4316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2017, 19unssd 3773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21 resttopon 20905 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2215, 20, 21sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2313, 22syl5eqel 2702 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24 topontop 20658 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶𝐴)
28 unss1 3766 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30 toponuni 20659 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3229, 31sseqtrd 3626 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35 elun 3737 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
36 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4036, 39ifcld 4109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
41 elsni 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
4342iftrued 4072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = 𝑥)
44 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4640, 45jaodan 825 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4735, 46sylan2b 492 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
48 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4947, 48fmptd 6351 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
5031feq2d 5998 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ))
5149, 50mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)
52 eqid 2621 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
5315toponunii 20661 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
5452, 53cnprest 21033 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5525, 32, 34, 51, 54syl22anc 1324 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5613, 14, 48, 38, 17, 18ellimc 23577 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)))
5938, 27fssresd 6038 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
6027, 17sstrd 3598 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 23577 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
6229resmptd 5421 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))))
63 elun 3737 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}))
64 velsn 4171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
6564orbi2i 541 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
6663, 65bitri 264 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
67 pm5.61 748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
68 fvres 6174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7067, 69sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7170ifeq2da 4095 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7266, 71sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7372mpteq2ia 4710 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7462, 73syl6reqr 2674 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
7513oveq1i 6625 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
7615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
77 cnex 9977 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
7877ssex 4772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
7920, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
80 restabs 20909 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8176, 29, 79, 80syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8275, 81syl5req 2668 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8382oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
8483fveq1d 6160 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8574, 84eleq12d 2692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8661, 85bitrd 268 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8755, 56, 863bitr4rd 301 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8887ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
896, 12, 88pm5.21ndd 369 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
9089eqrdv 2619 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  ifcif 4064  {csn 4155  ∪ cuni 4409   ↦ cmpt 4683  dom cdm 5084   ↾ cres 5086  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894   ↾t crest 16021  TopOpenctopn 16022  ℂfldccnfld 19686  Topctop 20638  TopOnctopon 20655  intcnt 20761   CnP ccnp 20969   limℂ climc 23566 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-ntr 20764  df-cnp 20972  df-xms 22065  df-ms 22066  df-limc 23570 This theorem is referenced by:  dvreslem  23613  dvaddbr  23641  dvmulbr  23642  lhop2  23716  lhop  23717  limciccioolb  39289  limcicciooub  39305  limcresiooub  39310  limcresioolb  39311  ioccncflimc  39433  icocncflimc  39437  dirkercncflem3  39659  fourierdlem32  39693  fourierdlem33  39694  fourierdlem48  39708  fourierdlem49  39709  fourierdlem62  39722  fouriersw  39785
 Copyright terms: Public domain W3C validator