MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcun 23379
Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcun (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))

Proof of Theorem limcun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 23358 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp3d 1067 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4 inss1 3791 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ⊆ ((𝐹𝐴) lim 𝐶)
54sseli 3560 . . . . 5 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
6 limcrcl 23358 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
76simp3d 1067 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
10 prfi 8094 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12 limcun.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
14 limcun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16 cnex 9870 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1716ssex 4722 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
1916ssex 4722 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
21 sseq1 3585 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
22 sseq1 3585 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
2321, 22ralprg 4177 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2418, 20, 23syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2513, 15, 24mpbir2and 958 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
26 limcun.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
28 uniiun 4500 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
29 uniprg 4377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3018, 20, 29syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3128, 30syl5eqr 2654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴𝐵))
3231feq2d 5927 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ))
3327, 32mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
34 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3511, 25, 33, 34limciun 23378 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 lim 𝐶) = (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
3635eleq2d 2669 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶))))
37 reseq2 5296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
3837oveq1d 6539 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
3938eleq2d 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶)))
40 reseq2 5296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
4140oveq1d 6539 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐵) lim 𝐶))
4241eleq2d 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
4339, 42ralprg 4177 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4418, 20, 43syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4544anbi2d 735 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
46 limccl 23359 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ⊆ ℂ
4746sseli 3560 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4948pm4.71ri 662 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5045, 49syl6bbr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
51 elriin 4520 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
52 elin 3754 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
5350, 51, 523bitr4g 301 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5436, 53bitrd 266 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5554ex 448 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
563, 9, 55pm5.21ndd 367 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5756eqrdv 2604 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  Vcvv 3169  cun 3534  cin 3535  wss 3536  {cpr 4123   cuni 4363   ciun 4446   ciin 4447  dom cdm 5025  cres 5027  wf 5783  (class class class)co 6524  Fincfn 7815  cc 9787   lim climc 23346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-rest 15849  df-topn 15850  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cnp 20781  df-xms 21873  df-ms 21874  df-limc 23350
This theorem is referenced by:  lhop  23497
  Copyright terms: Public domain W3C validator