MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limenpsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limenpsi 8095
Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limenpsi.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limenpsi (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4778 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2 limenpsi.1 . . . . . . . 8 Lim 𝐴
3 limsuc 7011 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴)
54biimpi 206 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
6 nsuceq0 5774 . . . . . 6 suc 𝑥 ≠ ∅
75, 6jctir 560 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8 eldifsn 4294 . . . . 5 (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
97, 8sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
10 limord 5753 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
112, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordelon 5716 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1311, 12mpan 705 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
14 ordelon 5716 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
1511, 14mpan 705 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ On)
16 suc11 5800 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
1713, 15, 16syl2an 494 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
189, 17dom3 7959 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
191, 18mpdan 701 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
20 difss 3721 . . 3 (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
21 ssdomg 7961 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
2220, 21mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
23 sbth 8040 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
2419, 22, 23syl2anc 692 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  cdif 3557  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  Ord word 5691  Oncon0 5692  Lim wlim 5693  suc csuc 5694  cen 7912  cdom 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-en 7916  df-dom 7917
This theorem is referenced by:  limensuci  8096  omenps  8512  infdifsn  8514  ominf4  9094
  Copyright terms: Public domain W3C validator