Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf0 40343
 Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
liminf0 (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0
StepHypRef Expression
1 nftru 1770 . . . 4 𝑥
2 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
4 0red 10079 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5 noel 3952 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ∅
6 elinel1 3832 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
76con3i 150 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9 pm2.21 120 . . . . . 6 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
1110adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
121, 3, 4, 11liminfval3 40340 . . 3 (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
1312trud 1533 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14 mpt0 6059 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
1514fveq2i 6232 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16 mpt0 6059 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
1716fveq2i 6232 . . . . 5 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18 limsup0 40244 . . . . 5 (lim sup‘∅) = -∞
1917, 18eqtri 2673 . . . 4 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
2019xnegeqi 39980 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21 xnegmnf 12079 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
2220, 21eqtri 2673 . 2 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
2313, 15, 223eqtr3i 2681 1 (lim inf‘∅) = +∞
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606  ∅c0 3948   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111  -𝑒cxne 11981  [,)cico 12215  lim supclsp 14245  lim infclsi 40301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-xneg 11984  df-ico 12219  df-limsup 14246  df-liminf 40302 This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  40347
 Copyright terms: Public domain W3C validator