Theorem liminfgord 42028

Description: Ordering property of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminfgord	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem liminfgord

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4205	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
3		rexr 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		df-ico 12738	. . . . . . . 8 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		xrletr 12545	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
8	6, 6, 7	ixxss1 12750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
9	4, 5, 8	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
10		imass2 5959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)))
11		ssrin 4209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
13	12	sselda 3966	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14		infxrlb 12721	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15	2, 13, 14	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	15	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17		inss2 4205	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
18		infxrcl 12720	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
20		infxrgelb 12722	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
21	17, 19, 20	mp2an 690	. 2 ⊢ (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
22	16, 21	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   “ cima 5552  (class class class)co 7150  infcinf 8899  ℝcr 10530  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-ico 12738

This theorem is referenced by:  liminfval2  42042