Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflelimsupuz 40520
 Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsupuz.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflelimsupuz.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsupuz (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminflelimsupuz.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2 liminflelimsupuz.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6363 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 39795 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 liminflelimsupuz.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76, 2uzubico2 40300 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍)
81ffnd 6207 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
98adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
122, 11uzxrd 40190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
1512xrleidd 40108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗𝑗)
162, 11uzred 40168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
17 ltpnf 12147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 < +∞)
1912, 14, 12, 15, 18elicod 12417 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
2019adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
219, 10, 20fnfvima2 39977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
221ffvelrnda 6522 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2321, 22elind 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24 ne0i 4064 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
2625ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2726ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2827reximdva 3155 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2928ralimdva 3100 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
307, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
315, 30liminflelimsup 40511 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714  ∅c0 4058   class class class wbr 4804   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  [,)cico 12370  lim supclsp 14400  lim infclsi 40486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fl 12787  df-ceil 12788  df-limsup 14401  df-liminf 40487 This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  40523  liminflimsupclim  40542
 Copyright terms: Public domain W3C validator