Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvald 41921
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvald.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminfvald.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfvald (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald
StepHypRef Expression
1 liminfvald.1 . 2 (𝜑𝐹𝑉)
2 liminfvald.2 . . 3 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32liminfval 41916 . 2 (𝐹𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  cmpt 5137  ran crn 5549  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  infcinf 8893  cr 10524  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  [,)cico 12728  lim infclsi 41908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-liminf 41909
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  41932
  Copyright terms: Public domain W3C validator