Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxrmpt 40517
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxrmpt.1 𝑥𝜑
liminfvalxrmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxrmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxrmpt (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxrmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4895 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 liminfvalxrmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 liminfvalxrmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
4 liminfvalxrmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 39937 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5liminfvalxr 40514 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))))
7 eqidd 2757 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
87, 4fvmpt2d 6451 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
98xnegeqd 40158 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = -𝑒𝐵)
103, 9mpteq2da 4891 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵))
1110fveq2d 6352 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
1211xnegeqd 40158 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
136, 12eqtrd 2790 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wnf 1853  wcel 2135  cmpt 4877  cfv 6045  *cxr 10261  -𝑒cxne 12132  lim supclsp 14396  lim infclsi 40482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-xneg 12135  df-limsup 14397  df-liminf 40483
This theorem is referenced by:  liminfval4  40520  liminfval3  40521
  Copyright terms: Public domain W3C validator