Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10exlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10exlem 40322
Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsup10exlem.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
limsup10exlem.2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsup10exlem (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem limsup10exlem
StepHypRef Expression
1 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
21prid1 4329 . . . . . 6 0 ∈ {0, 1}
3 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
43elexi 3244 . . . . . . 7 1 ∈ V
54prid2 4330 . . . . . 6 1 ∈ {0, 1}
62, 5ifcli 39643 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
87ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
9 nfv 1883 . . . 4 𝑛𝜑
101, 4ifex 4189 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V)
12 limsup10exlem.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
139, 11, 12imassmpt 39795 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}))
148, 13mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1})
15 limsup10exlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1615ceilcld 39992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
17 1zzd 11446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1816, 17ifcld 4164 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
21 2teven 15126 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2219, 20, 21syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2322iftrued 4127 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 0)
24 2nn 11223 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
26 eqid 2651 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
273a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
2815adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
2916zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
31 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
3215ceilged 39986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3427, 28, 30, 31, 33letrd 10232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ (⌈‘𝐾))
35 iftrue 4125 . . . . . . . . . . 11 (1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3734, 36breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
383leidi 10600 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 1)
40 iffalse 4128 . . . . . . . . . . 11 (¬ 1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4140adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4239, 41breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4337, 42pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4426, 17, 18, 43eluzd 39948 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ (ℤ‘1))
45 nnuz 11761 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
4644, 45syl6eleqr 2741 . . . . . 6 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℕ)
4725, 46nnmulcld 11106 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℕ)
481a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ V)
4912, 23, 47, 48fvmptd2 39759 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) = 0)
5010, 12fnmpti 6060 . . . . . 6 𝐹 Fn ℕ
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5215rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
53 pnfxr 10130 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5547nnxrd 39515 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ*)
5647nnred 11073 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ)
5746nnred 11073 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ)
5833, 36breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
5915adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
61 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → ¬ 1 ≤ 𝐾)
6259, 60, 61nleltd 39994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 1)
6359, 60, 62ltled 10223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ 1)
6441eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 = if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6563, 64breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6658, 65pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6746nnrpd 11908 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+)
68 2timesgt 39814 . . . . . . . . 9 (if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+ → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7015, 57, 56, 66, 69lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7115, 56, 70ltled 10223 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7256ltpnfd 11993 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < +∞)
7352, 54, 55, 71, 72elicod 12262 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ (𝐾[,)+∞))
7451, 47, 73fnfvima2 39792 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7549, 74eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7618adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
77 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
78 2tp1odd 15123 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
7976, 77, 78syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
8079iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 1)
8147peano2nnd 11075 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℕ)
823rexri 10135 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
8412, 80, 81, 83fvmptd2 39759 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) = 1)
8581nnxrd 39515 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ*)
8681nnred 11073 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ)
8756ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8815, 56, 86, 70, 87lttrd 10236 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8915, 86, 88ltled 10223 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
9086ltpnfd 11993 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) < +∞)
9152, 54, 85, 89, 90elicod 12262 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ (𝐾[,)+∞))
9251, 81, 91fnfvima2 39792 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9384, 92eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9475, 93prssd 4386 . 2 (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9514, 94eqssd 3653 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cima 5146   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  [,)cico 12215  cceil 12632  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  limsup10ex  40323  liminf10ex  40324
  Copyright terms: Public domain W3C validator