Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzlem 40272
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzlem.1 𝑘𝜑
limsupequzlem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequzlem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequzlem.7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequzlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem
StepHypRef Expression
1 limsupequzlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3 limsupequzlem.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5 eluzelz 11735 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
73zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10 zssxr 39934 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ*
11 limsupequzlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 limsupequzlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 tpssi 4401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
1411, 12, 3, 13syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15 xrltso 12012 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ*)
17 tpfi 8277 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
1911tpnzd 4345 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
2010a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
2114, 20sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22 fisupcl 8416 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2316, 18, 19, 21, 22syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2414, 23sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
2510, 24sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27 eluzelre 11736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2928rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30 tpid3g 4337 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
3321, 31, 32supxrubd 39611 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35 eluzle 11738 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
379, 26, 29, 34, 36xrletrd 12031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾𝑘)
382, 4, 6, 37eluzd 39948 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
39 limsupequzlem.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
4038, 39syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
411, 40ralrimia 39629 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
42 limsupequzlem.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
43 limsupequzlem.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
44 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
45 tpid1g 39636 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4611, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4721, 46, 32supxrubd 39611 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
4844, 11, 24, 47eluzd 39948 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀))
49 uzss 11746 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
51 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
52 tpid2g 39630 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5312, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5421, 53, 32supxrubd 39611 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
5551, 12, 24, 54eluzd 39948 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁))
56 uzss 11746 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
58 fvreseq0 6357 . . . . 5 (((𝐹 Fn (ℤ𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ𝑁)) ∧ ((ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
5942, 43, 50, 57, 58syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6041, 59mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
6160fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62 eqid 2651 . . 3 (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63 fvexd 6241 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ∈ V)
6442, 63fnexd 39637 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
6542fndmd 39755 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ𝑀))
66 uzssz 11745 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
6765, 66syl6eqss 3688 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
6824, 62, 64, 67limsupresuz2 40259 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69 fvexd 6241 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
7043, 69fnexd 39637 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
7143fndmd 39755 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ𝑁))
72 uzssz 11745 . . . 4 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
7371, 72syl6eqss 3688 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
7424, 62, 70, 73limsupresuz2 40259 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
7561, 68, 743eqtr3d 2693 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {ctp 4214   class class class wbr 4685   Or wor 5063  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  lim supclsp 14245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-ico 12219  df-limsup 14246 This theorem is referenced by:  limsupequz  40273
 Copyright terms: Public domain W3C validator