Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuple 14143
 Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuple ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuple
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
2 reex 9971 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32ssex 4762 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
5 xrex 11773 . . . . . 6 * ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
7 fex2 7068 . . . . 5 ((𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 4, 6, 7syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
9 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
109limsupval 14139 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
1211breq2d 4625 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < )))
139limsupgf 14140 . . . . 5 𝐺:ℝ⟶ℝ*
14 frn 6010 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ* → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ ℝ*
16 simp3 1061 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 12108 . . . 4 ((ran 𝐺 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
1815, 16, 17sylancr 694 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
19 ffn 6002 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ*𝐺 Fn ℝ)
2013, 19ax-mp 5 . . . 4 𝐺 Fn ℝ
21 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2221ralrn 6318 . . . 4 (𝐺 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2320, 22ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗))
2418, 23syl6bb 276 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2512, 24bitrd 268 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ran crn 5075   “ cima 5077   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  infcinf 8291  ℝcr 9879  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019  [,)cico 12119  lim supclsp 14135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-limsup 14136 This theorem is referenced by:  limsuplt  14144  limsupbnd1  14147  limsupbnd2  14148  mbflimsup  23339
 Copyright terms: Public domain W3C validator