MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuple 14143
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuple ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuple
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
2 reex 9971 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32ssex 4762 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
5 xrex 11773 . . . . . 6 * ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
7 fex2 7068 . . . . 5 ((𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 4, 6, 7syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
9 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
109limsupval 14139 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
1211breq2d 4625 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < )))
139limsupgf 14140 . . . . 5 𝐺:ℝ⟶ℝ*
14 frn 6010 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ* → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ ℝ*
16 simp3 1061 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 12108 . . . 4 ((ran 𝐺 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
1815, 16, 17sylancr 694 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
19 ffn 6002 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ*𝐺 Fn ℝ)
2013, 19ax-mp 5 . . . 4 𝐺 Fn ℝ
21 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2221ralrn 6318 . . . 4 (𝐺 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2320, 22ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗))
2418, 23syl6bb 276 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2512, 24bitrd 268 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  infcinf 8291  cr 9879  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,)cico 12119  lim supclsp 14135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-limsup 14136
This theorem is referenced by:  limsuplt  14144  limsupbnd1  14147  limsupbnd2  14148  mbflimsup  23339
  Copyright terms: Public domain W3C validator