Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplesup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplesup 40249
 Description: An upper bound for the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplesup.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsuplesup.2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsuplesup (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsuplesup
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplesup.1 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
2 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 14249 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5 nfv 1883 . . 3 𝑘𝜑
6 inss2 3867 . . . . 5 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
87supxrcld 39604 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 limsuplesup.2 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
10 inss2 3867 . . . . 5 ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supxrcld 39604 . . 3 (𝜑 → sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
1413imaeq2d 5501 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
1514ineq1d 3846 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1615supeq1d 8393 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
175, 8, 9, 12, 16infxrlbrnmpt2 39950 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
184, 17eqbrtrd 4707 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144   “ cima 5146  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  ℝcr 9973  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  [,)cico 12215  lim supclsp 14245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-limsup 14246 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator