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Theorem limsupmnfuzlem 39394
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnfuzlem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupmnfuzlem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnfuzlem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2761 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupmnfuzlem.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssre 39119 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 3620 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
6 limsupmnfuzlem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71, 5, 6limsupmnf 39389 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
8 breq1 4626 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑗𝑖𝑗))
98imbi1d 331 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
109ralbidv 2982 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1110cbvrexv 3164 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1211biimpi 206 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
13 iftrue 4070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15 limsupmnfuzlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1615ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 ceilcl 12599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
1817ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
202, 16, 18, 19eluzd 39134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
2114, 20eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22 iffalse 4073 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2415, 2uzidd2 39142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀𝑍)
2524ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀𝑍)
2623, 25eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
2721, 26pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28273adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝜑
30 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31 nfra1 2937 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3229, 30, 31nf3an 1828 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
33 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
344, 27sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36 eluzelre 11658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
3917zred 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41 ceilge 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
434, 24sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45 max2 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4644, 40, 45syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4738, 40, 34, 42, 46letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49 eluzle 11660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5133, 35, 37, 48, 50letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
52513adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
53 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5415ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzelz 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
5744adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58 max1 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
5943, 39, 58syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6157, 35, 37, 60, 50letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀𝑗)
622, 54, 56, 61eluzd 39134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
63623adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
64 rspa 2926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6553, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6652, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
6766ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6832, 67ralrimi 2953 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
69 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ𝑘) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
7069raleqdv 3137 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7170rspcev 3299 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7228, 68, 71syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
73723exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
7473rexlimdv 3025 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7574imp 445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7612, 75sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7776ex 450 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
78 rexss 3654 . . . . . . . 8 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
794, 78ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
8079biimpi 206 . . . . . 6 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
81 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑍
82 nfra1 2937 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
8381, 82nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
84 simp1r 1084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
85 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
862eluzelz2 39126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
87863ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
882eluzelz2 39126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
89883ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
9185, 87, 89, 90eluzd 39134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
92913adant1r 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
93 rspa 2926 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
9484, 92, 93syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
95943exp 1261 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗𝑍 → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9683, 95ralrimi 2953 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9897reximdv 3012 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9998imp 445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
10080, 99sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
101100ex 450 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
10277, 101impbid 202 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
103102ralbidv 2982 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1047, 103bitrd 268 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560  ifcif 4064   class class class wbr 4623  wf 5853  cfv 5857  cr 9895  -∞cmnf 10032  *cxr 10033  cle 10035  cz 11337  cuz 11647  cceil 12548  lim supclsp 14151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-ico 12139  df-fl 12549  df-ceil 12550  df-limsup 14152
This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  39395
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