Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnf 41868
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnf.j 𝑗𝐹
limsuppnf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnf (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2974 . . 3 𝑙𝐹
2 limsuppnf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsuppnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41, 2, 3limsuppnflem 41867 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙))))
5 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑙𝑘𝑙))
65anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙))))
76rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙))))
8 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑙
9 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑦
10 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑗
11 limsuppnf.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐹
12 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑙
1311, 12nffv 6673 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐹𝑙)
149, 10, 13nfbr 5104 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)
158, 14nfan 1891 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙))
16 nfv 1906 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
17 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → (𝑘𝑙𝑘𝑗))
18 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1918breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2115, 16, 20cbvrexw 3440 . . . . . . . . 9 (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
237, 22bitrd 280 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2423cbvralvw 3447 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
26 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑗) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
2726anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2827rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2928ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
3025, 29bitrd 280 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
3130cbvralvw 3447 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3231a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
334, 32bitrd 280 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wnfc 2958  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  cr 10524  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  cle 10664  lim supclsp 14815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-ico 12732  df-limsup 14816
This theorem is referenced by:  limsupre2lem  41881
  Copyright terms: Public domain W3C validator