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Theorem limsuppnflem 40260
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnflem.j 𝑗𝐹
limsuppnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝜑𝜑)
2 imnan 437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
32ralbii 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4 ralnex 3021 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
53, 4bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
65rexbii 3070 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7 rexnal 3024 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
86, 7bitri 264 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
98rexbii 3070 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
10 rexnal 3024 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
119, 10bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211biimpri 218 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
13 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1514imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
16153adant1 1099 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
17 limsuppnflem.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1817ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1918ad4ant14 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
21 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
2618ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2722ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2826, 27xrltnled 39892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ((𝐹𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
2925, 28mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3029adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3120, 24, 30xrltled 39800 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3213, 16, 31syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
33323exp 1283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3433ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3534reximdva 3046 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3635reximdva 3046 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3736imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
381, 12, 37syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
39 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
41 limsuppnflem.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4240, 41ssexd 4838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ V)
4317, 42fexd 39610 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ V)
4443limsupcld 40240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4622ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → +∞ ∈ ℝ*)
49 limsuppnflem.j . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐹
5041ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5117ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5349, 50, 51, 46, 52limsupbnd1f 40236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝑥)
54 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
5554ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
5645, 46, 48, 53, 55xrlelttrd 12029 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
5756ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
5857rexlimdva 3060 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
5958imp 444 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
6038, 59syldan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
6160adantlr 751 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
62 id 22 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) = +∞)
6347a1i 11 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6462, 63eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
6564, 62xreqnltd 39931 . . . . . 6 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6665adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6766adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6861, 67condan 852 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
6968ex 449 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
7041adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7117adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
72 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7349, 70, 71, 72limsuppnfd 40252 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
7473ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (lim sup‘𝐹) = +∞))
7569, 74impbid 202 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wnfc 2780  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  lim supclsp 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ico 12219  df-limsup 14246
This theorem is referenced by:  limsuppnf  40261
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