Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2lem 41881
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2lem.1 𝑗𝐹
limsupre2lem.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2lem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2lem
StepHypRef Expression
1 limsupre2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 reex 10616 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupre2lem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5219 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 41256 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
76limsupcld 41847 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
8 xrre4 41561 . . 3 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)))
10 df-ne 3014 . . . . 5 ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = -∞)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = -∞))
12 limsupre2lem.1 . . . . . 6 𝑗𝐹
1312, 4, 1limsupmnf 41878 . . . . 5 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1413notbid 319 . . . 4 (𝜑 → (¬ (lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
15 annim 404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1615rexbii 3244 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
17 rexnal 3235 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1816, 17bitri 276 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1918ralbii 3162 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
20 ralnex 3233 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2119, 20bitri 276 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2221rexbii 3244 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
23 rexnal 3235 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2422, 23bitr2i 277 . . . . . 6 (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
26 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726rexrd 10679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2928ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3027, 29xrltnled 41507 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3130bicomd 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑥 < (𝐹𝑗)))
3231anbi2d 628 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3332rexbidva 3293 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3433ralbidv 3194 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3534rexbidva 3293 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3625, 35bitrd 280 . . . 4 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3711, 14, 363bitrd 306 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
38 df-ne 3014 . . . . 5 ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞))
4012, 4, 1limsuppnf 41868 . . . . 5 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4140notbid 319 . . . 4 (𝜑 → (¬ (lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4229, 27xrltnled 41507 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4342imbi2d 342 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4443ralbidva 3193 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4544rexbidv 3294 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
4645rexbidva 3293 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
47 imnan 400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4847ralbii 3162 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
49 ralnex 3233 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5048, 49bitri 276 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5150rexbii 3244 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
52 rexnal 3235 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5351, 52bitri 276 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5453rexbii 3244 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
55 rexnal 3235 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5654, 55bitri 276 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
5846, 57bitr2d 281 . . . 4 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5939, 41, 583bitrd 306 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≠ +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
6037, 59anbi12d 630 . 2 (𝜑 → (((lim sup‘𝐹) ≠ -∞ ∧ (lim sup‘𝐹) ≠ +∞) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
619, 60bitrd 280 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  lim supclsp 14815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-ico 12732  df-limsup 14816
This theorem is referenced by:  limsupre2  41882
  Copyright terms: Public domain W3C validator