Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupres 40458
 Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupres.1 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
limsupres (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . 3 𝑘𝜑
2 resimass 39966 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4 ssrin 3981 . . . . . . 7 (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
65adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
7 inss2 3977 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
96, 8sstrd 3754 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
109supxrcld 39807 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
118supxrcld 39807 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12 supxrss 12375 . . . 4 (((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
136, 8, 12syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
141, 10, 11, 13infrnmptle 40166 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15 limsupres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
1615resexd 39838 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ V)
17 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1817limsupval 14424 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1916, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
20 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2120limsupval 14424 . . . 4 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2215, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2319, 22breq12d 4817 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
2414, 23mpbird 247 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  infcinf 8514  ℝcr 10147  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  [,)cico 12390  lim supclsp 14420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-limsup 14421 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator