Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresuz 39735
Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupresuz.f (𝜑𝐹𝑉)
limsupresuz.d (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
limsupresuz (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz
StepHypRef Expression
1 rescom 5411 . . . . 5 ((𝐹𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
21fveq2i 6181 . . . 4 (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4 relres 5414 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐹 ↾ ℝ)
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6 limsupresuz.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7 relssres 5425 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
85, 6, 7syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
98eqcomd 2626 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
109reseq1d 5384 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11 resres 5397 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13 limsupresuz.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 limsupresuz.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1513, 14uzinico 39590 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1615eqcomd 2626 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
1716reseq2d 5385 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
1810, 12, 173eqtrrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
1918fveq2d 6182 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
2013zred 11467 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eqid 2620 . . . . 5 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22 limsupresuz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑉)
2322resexd 39141 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
2420, 21, 23limsupresico 39732 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2519, 24eqtrd 2654 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
263, 25eqtrd 2654 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2722resexd 39141 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
2827limsupresre 39728 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹𝑍)))
2922limsupresre 39728 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
3026, 28, 293eqtr3d 2662 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  dom cdm 5104  cres 5106  Rel wrel 5109  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  +∞cpnf 10056  cz 11362  cuz 11672  [,)cico 12162  lim supclsp 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-ico 12166  df-limsup 14183
This theorem is referenced by:  limsupresuz2  39741
  Copyright terms: Public domain W3C validator