Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub 39736
Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub.j 𝑗𝜑
limsupub.e 𝑗𝐹
limsupub.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub
StepHypRef Expression
1 limsupub.e . . . . 5 𝑗𝐹
2 limsupub.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 limsupub.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6 limsupub.j . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
7 nfv 1841 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
86, 7nfan 1826 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
9 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
10 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 rexr 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
134ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1413ad4ant13 1290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
1612, 14, 15xrltled 39299 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
1716adantrl 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
189, 17jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1918ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2019ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
218, 20reximdai 3009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2221ralimdv 2960 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2322ralimdva 2959 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2423imp 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
251, 3, 5, 24limsuppnfd 39734 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26 limsupub.n . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
2726neneqd 2796 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2925, 28pm2.65da 599 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
30 imnan 438 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3130ralbii 2977 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
32 ralnex 2989 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3331, 32bitri 264 . . . . . . 7 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3433rexbii 3037 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
35 rexnal 2992 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3634, 35bitri 264 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3736rexbii 3037 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
38 rexnal 2992 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3937, 38bitri 264 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
4029, 39sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
41 nfv 1841 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
428, 41nfan 1826 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
4313ad4ant14 1291 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
44 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544rexrd 10074 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4643, 45xrlenltd 10089 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
4746imbi2d 330 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4842, 47ralbida 2979 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4948rexbidva 3045 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5049rexbidva 3045 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5140, 50mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wnf 1706  wcel 1988  wnfc 2749  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644  wf 5872  cfv 5876  cr 9920  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  lim supclsp 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-ico 12166  df-limsup 14183
This theorem is referenced by:  limsupubuz  39745
  Copyright terms: Public domain W3C validator