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Theorem limsupubuzlem 39744
Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j 𝑗𝜑
limsupubuzlem.e 𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuzlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuzlem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
limsupubuzlem.w 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10103 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12755 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 12626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1610, 15ifcld 4122 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 16eqeltrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1815zred 11467 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
1910zred 11467 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 12003 . . . . . . . . . . 11 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2118, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2212eqcomd 2626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 4670 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 39448 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzfz2 12334 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27 ne0i 3913 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
29 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
32 elfzelz 12327 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
34 elfzle1 12329 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑗)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑗)
369, 31, 33, 35eluzd 39448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
37 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3836, 37syl6eleqr 2710 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗𝑍)
3930, 38ffvelrnd 6346 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
405, 7, 8, 28, 39fisupclrnmpt 39435 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2699 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
422, 41ifcld 4122 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
431, 42syl5eqel 2703 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4429ffvelrnda 6345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4641ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊 ∈ ℝ)
4743ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
48 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝜑)
4910ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
5017ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5137eluzelz2 39440 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
5337eleq2i 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5453biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluzle 11685 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
5756ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀𝑗)
58 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5949, 50, 52, 57, 58elfzd 39449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
605, 8, 39fimaxre4 39438 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑗) ≤ 𝑏)
615, 39, 60suprubrnmpt 39284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
6261, 3syl6breqr 4686 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
6348, 59, 62syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
64 max1 12001 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6541, 2, 64syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6665, 1syl6breqr 4686 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6766ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊𝑋)
6845, 46, 47, 63, 67letrd 10179 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
6913ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 uzssre 39433 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
7137, 70eqsstri 3627 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
7271sseli 3591 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
7372ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
7470, 24sseldi 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76 ceilge 12628 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
7713, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
78 max1 12001 . . . . . . . . . . . 12 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7918, 19, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
8079, 22breqtrd 4670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ 𝑁)
8113, 18, 74, 77, 80letrd 10179 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
8281ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑁)
83 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑗𝑁)
8475, 73ltnled 10169 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
8583, 84mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 < 𝑗)
8669, 75, 73, 82, 85lelttrd 10180 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 < 𝑗)
8769, 73, 86ltled 10170 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑗)
8844adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
892ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
9043ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
91 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
92 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9392r19.21bi 2929 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9493adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9591, 94mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌)
96 max2 12003 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9741, 2, 96syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9897, 1syl6breqr 4686 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
9998ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
10088, 89, 90, 95, 99letrd 10179 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10187, 100syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10268, 101pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
103102ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
1045, 103ralrimi 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
105 nfv 1841 . . 3 𝑥𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋
106 nfcv 2762 . . . . 5 𝑗𝑥
107 limsupubuzlem.e . . . . 5 𝑗𝑋
108106, 107nfeq 2773 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
109 breq2 4648 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
110108, 109ralbid 2980 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
111105, 110rspce 3299 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
11243, 104, 111syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wnf 1706  wcel 1988  wnfc 2749  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  c0 3907  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720   Or wor 5024  ran crn 5105  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  supcsup 8331  cr 9920   < clt 10059  cle 10060  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  cceil 12575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fl 12576  df-ceil 12577
This theorem is referenced by:  limsupubuz  39745
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