Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 42630
 Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32oveq1i 6775 . . . . . . 7 (𝑅𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
43eleq2i 2795 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
54biimpi 206 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
653ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
76adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
98sseq2i 3736 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6314 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 4910 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4274 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1413ibir 257 . . . . . 6 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
159, 14sylbi 207 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1716adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 42625 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1439 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 eqid 2724 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 lmodcmn 19034 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1210 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 472 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25 fvex 6314 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
262, 25eqeltri 2799 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
27 elmapg 7987 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
2826, 27mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
29 ffvelrn 6472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
3029ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑆:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3128, 30syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)))
3231imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
33323adant2 1123 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3433adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3534imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
36 ssel 3703 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
37363ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3837adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3938imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
40 eqid 2724 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
41 eqid 2724 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
428, 40, 41, 2lmodvscl 19003 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑣) ∈ 𝑅𝑣𝐵) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4324, 35, 39, 42syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
44 eqid 2724 . . . 4 (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
4543, 44fmptd 6500 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
4616anim2i 594 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
47 simpr3 1214 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
48 elmapi 7996 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆:𝑉𝑅)
49483ad2ant3 1127 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆:𝑉𝑅)
5049adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆:𝑉𝑅)
51 fvexd 6316 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
5250, 23, 51fdmfifsupp 8401 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
5340, 2scmfsupp 42586 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5446, 47, 52, 53syl3anc 1439 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
558, 20, 22, 23, 45, 54gsumcl 18437 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5619, 55eqeltrd 2803 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ↑𝑚 cmap 7974  Fincfn 8072   finSupp cfsupp 8391  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  0gc0g 16223   Σg cgsu 16224  CMndccmn 18314  LModclmod 18986   linC clinc 42620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-linc 42622 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator