Theorem linccl 44476

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
linccl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		linccl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	oveq1i 7168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
4	3	eleq2i 2906	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
5	4	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
6	5	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8		linccl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9	8	sseq2i 3998	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12		elpwg 4544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
14	13	ibir 270	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	9, 14	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 44471	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2823	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 19684	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpr1 1190	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
24	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25	2	fvexi 6686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
26		elmapg 8421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
27	25, 26	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
28		ffvelrn 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
29	28	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:𝑉⟶𝑅 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
30	27, 29	syl6bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)))
31	30	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
32	31	3adant2 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
33	32	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
34	33	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
35		ssel 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
38	37	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
39		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	8, 39, 40, 2	lmodvscl 19653	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
42	24, 34, 38, 41	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
43	42	fmpttd 6881	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
44	16	anim2i 618	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simpr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		elmapi 8430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
47	46	3ad2ant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
48	47	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
49		fvexd 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
50	48, 23, 49	fdmfifsupp 8845	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
51	39, 2	scmfsupp 44433	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
52	44, 45, 50, 51	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
53	8, 20, 22, 23, 43, 52	gsumcl 19037	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
54	19, 53	eqeltrd 2915	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  CMndccmn 18908  LModclmod 19636   linC clinc 44466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-linc 44468

This theorem is referenced by: (None)