Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext1 41531
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0 0 = (0g𝑅)
lincext.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincext.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincext.f 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
Assertion
Ref Expression
lincext1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
2 lincext.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
43lmodfgrp 18793 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
54ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
62, 5syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr1 1065 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌𝐸)
8 lincext.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Base‘𝑅)
9 lincext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
108, 9grpinvcl 17388 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐸) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
116, 7, 10syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
1211ad2antrr 761 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
13 elmapi 7823 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14 df-ne 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
1514biimpri 218 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 = 𝑋𝑧𝑋)
1615anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧𝑆𝑧𝑋))
17 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧𝑆𝑧𝑋))
1816, 17sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2018, 19sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2120ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
23223ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2423adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2524impl 649 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2612, 25ifclda 4092 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)) ∈ 𝐸)
27 eqid 2621 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
2826, 27fmptd 6340 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸)
29 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
30 fvex 6158 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
318, 30eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
3229, 31jctil 559 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3332adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
34 elmapg 7815 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3628, 35mpbird 247 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
371, 36syl5eqel 2702 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3552  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  LModclmod 18784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-ring 18470  df-lmod 18786
This theorem is referenced by:  lincext2  41532  lincext3  41533  lindslinindsimp1  41534  islindeps2  41560
  Copyright terms: Public domain W3C validator