Theorem lincext2 44517

Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext2	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑌) ∈ V
2		fvex 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑧) ∈ V
3	1, 2	ifex 4517	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ V
4		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
5	3, 4	dmmpti 6494	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝑆
6	5	difeq1i 4097	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7		snssi 4743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
8	7	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
9	8	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		dfss4 4237	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
11	9, 10	sylib 220	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
12		snfi 8596	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
13	11, 12	eqeltrdi 2923	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
14	6, 13	eqeltrid 2919	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
15		lincext.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		lincext.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		lincext.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
18		lincext.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		lincext.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
20		lincext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20, 4	lincext1 44516	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22	21	3adant3 1128	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23		elmapfun 8432	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → Fun 𝐹)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → Fun 𝐹)
25		elmapi 8430	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
26	4	fdmdifeqresdif 44397	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
28	27	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
29	28	3ad2ant2 1130	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
30		simp3 1134	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
31	18	fvexi 6686	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
33	14, 22, 24, 29, 30, 32	resfsupp 8862	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  Fun wfun 6351  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570  0_gc0g 16715  inv_gcminusg 18106  LModclmod 19636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-ring 19301  df-lmod 19638

This theorem is referenced by:  lincext3  44518  lindslinindsimp1  44519  islindeps2  44545