Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincfsuppcl 42527
 Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝑆𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
76eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
87biimpi 206 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
1093ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
11 elpwg 4199 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑀)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊𝐵 = (Base‘𝑀))
1413eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
1514sseq2d 3666 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉𝐵))
1611, 15bitr2d 269 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
1716biimpa 500 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 42523 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1366 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 eqid 2651 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
22 lmodcmn 18959 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1102 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 472 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉𝑊)
25243ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉𝑊)
261adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
28 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉𝑆𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
2928ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3332imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
34 ssel 3630 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
38 eqid 2651 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 18928 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝑆𝑣𝐵) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1366 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
41 eqid 2651 . . . 4 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
4240, 41fmptd 6425 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
43 simpl 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
44433ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
45 simp3r 1110 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
46 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4745, 46syl6breq 4726 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
483, 2scmfsupp 42484 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
491, 18, 44, 47, 48syl211anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5012, 21, 23, 25, 42, 49gsumcl 18362 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5120, 50eqeltrd 2730 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  LModclmod 18911   linC clinc 42518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-linc 42520 This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  42575
 Copyright terms: Public domain W3C validator