Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit1 41528
Description: Property 1 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   · (𝑠)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑠)   𝑁(𝑠)   0 (𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . 2 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
2 eldifi 3715 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠𝑆)
3 lincresunit.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 lincresunit.e . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑅)
6 lincresunit.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 lincresunit.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 lincresunit.z . . . . . 6 𝑍 = (0g𝑀)
9 lincresunit.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
10 lincresunit.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
11 lincresunit.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1lincresunitlem2 41527 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
132, 12sylan2 491 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
14 eqid 2626 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
1513, 14fmptd 6341 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))):(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
16 fvex 6160 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
175, 16eqeltri 2700 . . . 4 𝐸 ∈ V
18 difexg 4773 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
19183ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
21 elmapg 7816 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V) → ((𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))):(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸))
2217, 20, 21sylancr 694 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → ((𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))):(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸))
2315, 22mpbird 247 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))
241, 23syl5eqel 2708 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cdif 3557  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Basecbs 15776  .rcmulr 15858  Scalarcsca 15860  0gc0g 16016  invgcminusg 17339  Unitcui 18555  invrcinvr 18587  LModclmod 18779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-lmod 18781
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  41531  lincresunit3  41532  isldepslvec2  41536
  Copyright terms: Public domain W3C validator