Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit2 41555
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4768 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
213ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
32adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
6 mptexg 6438 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ V)
75, 6syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
95funmpt2 5885 . . . . . . . 8 Fun 𝐺
109a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
12 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
1311, 12eqeltri 2694 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
15 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
1615fsuppimpd 8226 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
17 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
18 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
19 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠𝑆)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠𝑆)
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑀)
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (Base‘𝑅)
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 = (Unit‘𝑅)
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0g𝑀)
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (invg𝑅)
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r𝑅)
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 41553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
3017, 18, 20, 29syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
3130ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
325fnmpt 5977 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
34 elmapfn 7824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
3733, 36jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
38 difssd 3716 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
39 simpr1 1065 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 0 ∈ V)
4138, 39, 403jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))))
43 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑥))
4443oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
46 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
47 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
48 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
50 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑆)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑆)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥𝑆)
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 41553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
5447, 49, 52, 53syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
5542, 45, 46, 54fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
56 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ))
5722lmodring 18792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
58573ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 41552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
6160ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
6223, 28, 11ringrz 18509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6359, 61, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6556, 64sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = 0 )
6655, 65eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = 0 )
6766ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
6867ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
69 suppfnss 7265 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
7069imp 445 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7137, 41, 68, 70syl21anc 1322 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7271adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
73 suppssfifsupp 8234 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1331 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
7574ex 450 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 ))
7675ex 450 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 )))
7776com23 86 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
78773impia 1258 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
7978impcom 446 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865  0gc0g 16021  invgcminusg 17344  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  invrcinvr 18592  LModclmod 18784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-lmod 18786
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  41557  lincresunit3  41558  isldepslvec2  41562
  Copyright terms: Public domain W3C validator