Theorem lincresunit3lem2 44528

Description: Lemma 2 for lincresunit3 44529. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   · (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1188	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincresunit.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
3		lincresunit.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ↑m 𝑆) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)
7	6	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
8	7	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
10	9	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
11		difssd 4109	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
12		elmapssres 8425	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
14		elpwi 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
15	14	ssdifssd 4119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
16		difexg 5224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
17		elpwg 4545	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
19	15, 18	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20		lincresunit.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21	20	pweqi 4543	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
22	19, 21	eleq2s 2931	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
23	22	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
24	23	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
25		lincval 44457	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
26	1, 13, 24, 25	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
27		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
28		simplr1 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
29		simplr2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
30		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
31		lincresunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
32		lincresunit.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33		lincresunit.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
34		lincresunit.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
35		lincresunit.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
36		lincresunit.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
37		lincresunit.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
38	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit3lem1 44527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
39	27, 28, 29, 30, 38	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
40		fvres 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
41	40	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
42	41	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧))
43	42	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	39, 43	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
45	44	mpteq2dva 5154	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
46	45	oveq2d 7166	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
47		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
48		eqid 2821	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
49		difexg 5224	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
50	49	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
51	50	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
52	3	lmodfgrp 19637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
53	52	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
54	53	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
55		elmapi 8422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
56		ffvelrn 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
57	56	expcom 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
58	57	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
59	55, 58	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
60	59	impcom 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
61	2, 34	grpinvcl 18145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
62	54, 60, 61	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
63	62	3ad2antr1 1184	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
64	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑀 ∈ LMod)
65	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit1 44525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
66	65	3adantr3 1167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
67		elmapi 8422	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
68		ffvelrn 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
69	68	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
70	66, 67, 69	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
71	70	imp 409	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
72		elpwi 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
73		eldifi 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
74		ssel2 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
75	74	expcom 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
77	72, 76	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
78	77	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
79	78	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
80	79	imp 409	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
81	20, 3, 48, 2	lmodvscl 19645	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
82	64, 71, 80, 81	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
83		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
84	83, 23	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
85	84	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
86	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit2 44526	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
87	86, 32	breqtrdi 5100	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp (0g‘𝑅))
88	3, 2	scmfsupp 44419	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp (0g‘𝑀))
89	88, 33	breqtrrdi 5101	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
90	85, 66, 87, 89	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
91	20, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90	gsumvsmul 19692	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))))
92	26, 46, 91	3eqtr2rd 2863	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  {csn 4561   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   ↾ cres 5552  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400   finSupp cfsupp 8827  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Grpcgrp 18097  inv_gcminusg 18098  Unitcui 19383  inv_rcinvr 19415  LModclmod 19628   linC clinc 44452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-lmod 19630  df-linc 44454

This theorem is referenced by:  lincresunit3  44529