Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunitlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunitlem2 42590
Description: Lemma for properties of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunitlem2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem lincresunitlem2
StepHypRef Expression
1 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
21lmodring 18919 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
323ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6 lincresunit.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 lincresunit.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
8 lincresunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
9 lincresunit.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
10 lincresunit.z . . . 4 𝑍 = (0g𝑀)
11 lincresunit.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
12 lincresunit.i . . . 4 𝐼 = (invr𝑅)
13 lincresunit.t . . . 4 · = (.r𝑅)
14 lincresunit.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
156, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lincresunitlem1 42589 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
1615adantr 480 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
17 elmapi 7921 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → 𝐹:𝑆𝐸)
18 ffvelrn 6397 . . . . . 6 ((𝐹:𝑆𝐸𝑌𝑆) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸)
1918ex 449 . . . . 5 (𝐹:𝑆𝐸 → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2017, 19syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2120ad2antrl 764 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2221imp 444 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸)
237, 13ringcl 18607 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)
245, 16, 22, 23syl3anc 1366 1 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  invgcminusg 17470  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  invrcinvr 18717  LModclmod 18911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-lmod 18913
This theorem is referenced by:  lincresunit1  42591  lincresunit2  42592  lincresunit3lem1  42593  lincresunit3  42595
  Copyright terms: Public domain W3C validator