Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincscm 42015
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s = ( ·𝑠𝑀)
lincscm.t · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.x 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
lincscm.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
Assertion
Ref Expression
lincscm (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2609 . . 3 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
3 lincscm.r . . 3 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4 eqid 2609 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5 eqid 2609 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
6 lincscm.s . . 3 = ( ·𝑠𝑀)
7 simp1l 1077 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8 simpr 475 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
983ad2ant1 1074 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
10 simpr 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆𝑅)
11103ad2ant2 1075 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆𝑅)
127adantr 479 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
13 elmapi 7742 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
14 ffvelrn 6250 . . . . . . . . 9 ((𝐴:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
1514ex 448 . . . . . . . 8 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1716adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
18173ad2ant2 1075 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1918imp 443 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
20 elelpwi 4118 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2120expcom 449 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2221adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
23223ad2ant1 1074 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2423imp 443 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
25 eqid 2609 . . . . 5 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
261, 2, 25, 3lmodvscl 18649 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
2712, 19, 24, 26syl3anc 1317 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
282, 3scmfsupp 41955 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
29283adant2r 1312 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 18696 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
312lmodring 18640 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3231adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
33323ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3433adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
353eleq2i 2679 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3635biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3736adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
38373ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑅)
4140, 3syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
4241ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4443adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
45443ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4645imp 443 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
47 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
48 lincscm.t . . . . . . . 8 · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
4947, 48ringcl 18330 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
5034, 39, 46, 49syl3anc 1317 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
51 lincscm.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
5250, 51fmptd 6277 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
53 fvex 6098 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
54 elmapg 7734 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5553, 9, 54sylancr 693 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5652, 55mpbird 245 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
57 lincval 41994 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
587, 56, 9, 57syl3anc 1317 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
59 simpr 475 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
60 ovex 6555 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V
61 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑣))
6261oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑆 · (𝐴𝑥)) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6362, 51fvmptg 6174 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6459, 60, 63sylancl 692 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6564oveq1d 6542 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣))
6611adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑆𝑅)
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 18657 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑅 ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀))) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1319 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
696eqcomi 2618 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) =
7069a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ( ·𝑠𝑀) = )
7170oveqd 6544 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7268, 71eqtrd 2643 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7365, 72eqtrd 2643 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7473mpteq2dva 4666 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
7574oveq2d 6543 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
7658, 75eqtrd 2643 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
77 lincscm.x . . . . 5 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
7877a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉))
793oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
8079eleq2i 2679 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
8180biimpi 204 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
8281adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
83823ad2ant2 1075 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
84 lincval 41994 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
857, 83, 9, 84syl3anc 1317 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8678, 85eqtrd 2643 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8786oveq2d 6543 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
8830, 76, 873eqtr4rd 2654 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721   finSupp cfsupp 8135  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869   Σg cgsu 15870  Ringcrg 18316  LModclmod 18632   linC clinc 41989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-lmod 18634  df-linc 41991
This theorem is referenced by:  lincscmcl  42017
  Copyright terms: Public domain W3C validator