Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincval0 41508
 Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincval0 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))

Proof of Theorem lincval0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4752 . . . . 5 ∅ ∈ V
21snid 4181 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
3 fvex 6160 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4 map0e 7842 . . . . . 6 ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
6 df1o2 7520 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
75, 6syl6eq 2671 . . . 4 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = {∅})
82, 7syl5eleqr 2705 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅))
9 0elpw 4796 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11 lincval 41502 . . 3 ((𝑀𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
128, 10, 11mpd3an23 1423 . 2 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
13 mpt0 5980 . . . . 5 (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝑀𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅)
1514oveq2d 6623 . . 3 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1716gsum0 17202 . . 3 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
1815, 17syl6eq 2671 . 2 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (0g𝑀))
1912, 18eqtrd 2655 1 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3893  𝒫 cpw 4132  {csn 4150   ↦ cmpt 4675  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  1𝑜c1o 7501   ↑𝑚 cmap 7805  Basecbs 15784  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  0gc0g 16024   Σg cgsu 16025   linC clinc 41497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-map 7807  df-seq 12745  df-gsum 16027  df-linc 41499 This theorem is referenced by:  lco0  41520
 Copyright terms: Public domain W3C validator