Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsng 41490
 Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincvalsng ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp2 1060 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉𝐵)
3 lincvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6151 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2643 . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 206 . . . . 5 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
983ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10 fvex 6158 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
12 eqid 2621 . . . . 5 {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
1312mapsnop 41408 . . . 4 ((𝑉𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
142, 9, 11, 13syl3anc 1323 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
15 snelpwi 4873 . . . . 5 (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16 lincvalsn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
1715, 16eleq2s 2716 . . . 4 (𝑉𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 41483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 14, 18, 19syl3anc 1323 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 lmodgrp 18791 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
22 grpmnd 17350 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
24233ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
25 fvsng 6401 . . . . . 6 ((𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
26253adant1 1077 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
2726oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉))
28 eqid 2621 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2916, 4, 28, 3lmodvscl 18801 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑉𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30293com23 1268 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
3127, 30eqeltrd 2698 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
32 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
33 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
3432, 33oveq12d 6622 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3516, 34gsumsn 18275 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3624, 2, 31, 35syl3anc 1323 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
37 lincvalsn.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑀)
3837eqcomi 2630 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ·
3938a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ( ·𝑠𝑀) = · )
40 eqidd 2622 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
4139, 26, 40oveq123d 6625 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
4220, 36, 413eqtrd 2659 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  ⟨cop 4154   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  Grpcgrp 17343  LModclmod 18784   linC clinc 41478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-lmod 18786  df-linc 41480 This theorem is referenced by:  lincvalsn  41491  snlindsntorlem  41544  ldepsnlinclem1  41579  ldepsnlinclem2  41580
 Copyright terms: Public domain W3C validator