MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsind2 19919
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 19911 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
323ad2ant2 1075 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
4 dmresi 5363 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2679 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹) ↔ 𝐸𝐹)
65biimpri 216 . . . 4 (𝐸𝐹𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
763ad2ant3 1076 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
108, 9lindfind2 19918 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1317 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
12 fvresi 6322 . . . 4 (𝐸𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) = 𝐸)
134difeq1i 3685 . . . . . . . 8 (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1413imaeq2i 5370 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸}))
15 difss 3698 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹
16 resiima 5386 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1814, 17eqtri 2631 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1918fveq2i 6091 . . . . 5 (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2681 . . 3 (𝐸𝐹 → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
22213ad2ant3 1076 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
2311, 22mtbid 312 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577   I cid 4938  dom cdm 5028  cres 5030  cima 5031  cfv 5790  Scalarcsca 15717  LModclmod 18632  LSpanclspn 18738  NzRingcnzr 19024   LIndF clindf 19904  LIndSclinds 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-lmod 18634  df-nzr 19025  df-lindf 19906  df-linds 19907
This theorem is referenced by:  islinds4  19935  lindsdom  32376  lindsenlbs  32377  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator