MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsmm 20107
Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 525 . . . 4 (𝐹𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6141 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
4 f1of 6104 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
6 simp3 1061 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
7 fss 6023 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
85, 6, 7sylancr 694 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
119, 10lindfmm 20106 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 270 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 18973 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 20088 . . 3 (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 18972 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 477 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22 f1ores 6118 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹))
23 f1of1 6103 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
25243adant1 1077 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2625adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
27 f1linds 20104 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5097 . . . . 5 (𝐺𝐹) = ran (𝐺𝐹)
30 lindfrn 20100 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3119, 30sylan 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3229, 31syl5eqel 2702 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3328, 32impbida 876 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 5622 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺𝐹)
3534breq1i 4630 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35syl6bbr 278 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 300 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   class class class wbr 4623   I cid 4994  ran crn 5085  cres 5086  cima 5087  ccom 5088  wf 5853  1-1wf1 5854  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  LModclmod 18803   LMHom clmhm 18959   LIndF clindf 20083  LIndSclinds 20084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lmhm 18962  df-lindf 20085  df-linds 20086
This theorem is referenced by:  lindsmm2  20108
  Copyright terms: Public domain W3C validator