Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lineintmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lineintmo 31240
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
lineintmo ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lineintmo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 860 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2 linethru 31236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
323expa 1256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
4 linethru 31236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
543expa 1256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
6 eqtr3 2630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑥Line𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑥Line𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
73, 5, 6syl2an 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
87anandirs 869 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
98ex 448 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝑥𝑦𝐴 = 𝐵))
109necon1d 2803 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
1110an4s 864 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
121, 11sylan2b 490 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
1312ex 448 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦)))
1413com23 83 . . . 4 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (𝐴𝐵 → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦)))
15143impia 1252 . . 3 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
1615alrimivv 1842 . 2 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
17 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
18 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1917, 18anbi12d 742 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
2019mo4 2504 . 2 (∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
2116, 20sylibr 222 1 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  ∃*wmo 2458  wne 2779  (class class class)co 6527  Linecline2 31217  LinesEEclines2 31219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-ee 25489  df-btwn 25490  df-cgr 25491  df-ofs 31066  df-colinear 31122  df-ifs 31123  df-cgr3 31124  df-fs 31125  df-line2 31220  df-lines2 31222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator