Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkr0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkr0f 34801
Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkr0f.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o 0 = (0g𝐷)
lkr0f.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkr0f ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f
StepHypRef Expression
1 lkr0f.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3 lkr0f.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lkr0f.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
51, 2, 3, 4lflf 34770 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6 ffn 6158 . . . . . 6 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
87adantr 472 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
9 lkr0f.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
10 lkr0f.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
111, 9, 4, 10lkrval 34795 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
1211eqeq1d 2726 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
1312biimpa 502 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
14 fvex 6314 . . . . . . 7 (0g𝐷) ∈ V
159, 14eqeltri 2799 . . . . . 6 0 ∈ V
1615fconst2 6586 . . . . 5 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
17 fconst4 6594 . . . . 5 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
1816, 17bitr3i 266 . . . 4 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
198, 13, 18sylanbrc 701 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
2019ex 449 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
2118biimpi 206 . . . . . 6 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
2221adantl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
23 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
24 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
251, 9, 3, 24lfl0f 34776 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
2723, 26eqeltrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
281, 9, 24, 10lkrval 34795 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
2927, 28syldan 488 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
3029eqeq1d 2726 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
31 ffn 6158 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
3216, 31sylbir 225 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
3332adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
3433biantrurd 530 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
3530, 34bitrd 268 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
3622, 35mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) = 𝑉)
3736ex 449 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾𝐺) = 𝑉))
3837adantr 472 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾𝐺) = 𝑉))
3920, 38impbid 202 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  {csn 4285   × cxp 5216  ccnv 5217  cima 5221   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067  0gc0g 16223  LModclmod 18986  LFnlclfn 34764  LKerclk 34792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-mgp 18611  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lfl 34765  df-lkr 34793
This theorem is referenced by:  lkrscss  34805  eqlkr  34806  lkrshp  34812  lkrshp3  34813  lkrshpor  34814  lfl1dim  34828  lfl1dim2N  34829  lkr0f2  34868  lclkrlem1  37214  lclkrlem2j  37224  lclkr  37241  lclkrs  37247  mapd0  37373
  Copyright terms: Public domain W3C validator